Estabilidad de Sistemas Dinámicos: Búsqueda de funciones de Lyapunov La estabilidad (asociada a conceptos relacionados con la respuesta dinámica de un sistema) es una propiedad fundamental de los sistemas de control, tan importante como la robustez, el rendimiento y otras características que lo identifican. El análisis de estabilidad de los sistemas no lineales es un problema complejo donde no existe una técnica común que pueda resolver todos los casos que se presentan. Al mecanismo de modelado se le exigen altas prestaciones, puesto que las técnicas de estabilidad en tiempo continuo están más desarrolladas y extendidas que el análisis en tiempo discreto, por lo que la incorporación de retrasos en las variables de control y salida de la planta, que mejoran el modelo, no se pueden realizar. Teoría de Lyapunov
Es la más generalizada de las herramientas para el estudio de la estabilidad de sistemas. Esta teoría está basada en el trabajo “El problema general de la estabilidad del movimiento” del matemático ruso Alexandr Mikhailovich Lyapunov publicado en 1892. La potencia de este método es su generalización, puede aplicarse a sistemas tanto variantes en tiempo (sistemas no autónomos) como invariantes en tiempo (sistemas autónomos), independiente del orden del sistema.
Existen dos métodos fundamentales de análisis:
(a) Método indirecto: Presupone que la estabilidad de un sistema no lineal próximo a un punto de equilibrio es aproximado a un sistema equivalente linealizado, lo cual constituye una justificación teórica para el uso del control lineal como método aplicable a plantas inherentemente no lineales. Fundamentos.
(b) Método directo: Es una generalización de los conceptos de energía asociados a un sistema mecánico: el movimiento de un sistema mecánico es estable si la energía mecánica total decrece con el tiempo. Basado en lo anterior, para determinado sistema se define una función que se supone describe su energía (función de Lyapunov) y se analiza si esta decrece. Fundamentos. Este es el método más general para determinar la estabilidad de sistemas no lineales y/o variantes con el tiempo. Contrario al método indirecto de Lyapunov, este método no requiere de la solución explícita de las ecuaciones diferenciales para el análisis; es decir, se determina la estabilidad del sistema sin resolver las ecuaciones de estado. Esto ofrece una gran ventaja porque, por lo general, es muy difícil despejar las ecuaciones de estado no lineales y/o variantes con el tiempo.
Jacobiano de Sistemas Borrosos Teorema de Krasovskii Si un sistema no lineal está definido por f(x), se analiza el Jacobiano más su traspuesta de dicho sistema (J+JT), evaluada en el punto de equilibrio bajo estudio. Si la matriz resultante de la operación anterior es definida negativa, entonces fT(x)f(x) será una función de Lyapunov del sistema f(x). Fundamentos.  Presentación |
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Referencias: Palm, R.; Driankov, D.; Hellendoorn, H.: Model Based Fuzzy Control. Springer. 1997. Slotine, J.; Li, W.: Applied Nonlinear Control. Prentice Hall. 1991. Wang. L.: Adaptive Fuzzy Systems and Control. Prentice Hall. 1994. |