Las estructuras de control que se han analizado en esta sección se caracterizan por tener una salida (comando de control). El controlador tiene varias variables de entrada (salida de la planta, señal de control, error con repecto al modelo de referencia y modelo de referencia), utilizándose además valores retrasados de estas variables y el posible retardo en la señal de control. Por lo anterior se puede considerar estos controladores como de múltiples entradas-una salida. Cuando a la planta hay que aplicar más de una variable de control, entonces el controlador a diseñar será de múltiples entradas-múltiples salidas. A este tipo de controlador se le denomina control multivariable.

                

 

El control multivariable basado en el modelo inverso y en el modelo directo pueden considerarse estrategias de modelado de múltiples entradas-múltiples salidas. Deben seleccionarse las variables de entrada-salida, aplicar los pasos para obtener el modelo, considerando el método utilizado para obtener ejemplos de modelos de plantas. 

 

Cuando se pretende diseñar un controlador multivariable debe considerarse que el objetivo fundamental es definir las entradas del controlador y adaptar los parámetros de forma que se consiga que las salidas del sistema sigan los modelos de referencia para cada salida. Al utilizar el control basado en el modelo indirecto, el problema puede abordarse como el diseño y solución de un sistema jerárquico.  

 

Cuando se diseña un controlador de una salida, las variables de entrada pueden agruparse como muestra la siguiente figura

 

Se pueden definir las entradas al controlador como:
1.- Variables dependientes del error y el modelo de referencia (1).
2.- Variables dependientes del retardo y valores retrasados de la ley de control (2).
3.- Variables dependientes de los valores retrasados de la salida (3)

 

Supóngase que se desea controlar una planta de dos entradas y tres salidas. Entonces existirán tres conjuntos de datos de (1), dos de (2) y tres de (3) que constituirán entradas a cada controlador, como se muestra en la siguiente figura

 

 

Si se retrasan dos veces el grupo de variables (1), tres las variables (2) (suponiendo que no hay retardo) y dos las variables (3), resulta:

 

Número_total_variables_entrada = 2*3[y^ref]+3*2[u]+2*3[y] = 18

 

Considerando lo anterior, el controlador a diseñar tendrá 18 variables de entrada y dos de salida.

 

Para adaptar los parámetros que definirán al controlador, será necesario obtener previamente el modelo de la planta, por lo que hay que definir los datos de entrada al núcleo(s) estimador(es) que representará dicho modelo. Si se toman como variables de entrada las variables definidas por (2) y (3), resulta un sistema como muestra la siguiente figura

 

que representa a un sistema jerárquico con dos niveles de jerarquía y tres núcleos estimadores (dos para los controladores, uno para la planta), en el primer nivel todas las entradas son conocidas y en el segundo nivel existen entradas conocidas y desconocidas (caso III de las ecuaciones que definen a los sistemas jerárquicos). El núcleo estimador que representará al modelo de la planta tendrá como variables de entrada:

 

Número_total_variables_entrada = 3*2[u]+2*3[y] = 12

 

Nótese que, según la anterior ecuación, las señales de control u₁(t) y u₂(t) estarían incorporadas en el vector de variables de entrada, por lo que no habría que representarlas como señales independientes en la figura anterior. Se mantienen para la comprensión en el diseño del sistema jerárquico.

 

El núcleo estimador presente en el nivel de jerarquía II (modelo de la planta) tendría 12 variables de entrada y tres de salida.

 

Desde el punto de vista práctico es poco probable que, dada la gran cantidad de variables de entrada, puedan obtenerse modelos adecuados para los tres núcleos estimadores. Este problema podría abordarse considerando a cada núcleo estimador como un sistema jerárquico por sí mismo y seccionándolo en subconjuntos de núcleos estimadores, de lo que resulta que el controlador multivariable serían dos sistemas jerárquicos (cualquiera sea la cantidad de núcleos estimadores que se incorporen, el modelo resultante que representará al controlador tendría 18 entradas y dos salidas).

 

Después de definir el diseño del controlador como la obtención del modelo de un sistema jerárquico, se aplican los mismos pasos que requiere el diseño de un controlador basado en modelo indirecto:

1.- Obtención del modelo de la planta (núcleo o núcleos estimadores definidos en el nivel II de jerarquía).

2.- Obtención del controlador (adaptación paramétrica del nivel I de jerarquía o subconjuntos que se definan).

3.- Sustituir los sistemas jerárquicos que representan al controlador en la planta.

 

Debido a que el control PID es un caso particular del control por modelo indirecto, el método aquí expuesto puede extenderse a esa estructura.

 

 

Cuando se aplica el control basado en la linealización por realimentación al diseño de un controlador multivariable, el problema puede reducirse a la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

 

La ley de control se basa en considerar que la planta puede representarse por:

 

y = f(x) + g(x)u(t)                                                                                     (4)

 

Si se sustituye la salida de la planta en (4) por el modelo de referencia que se desea y se despeja la ley de control, resulta:

 

u(t) = (y^d - f(x))/g(x)                                                                                 (5)

 

Supóngase un sistema de dos entradas y dos salidas, en este caso (4) queda definido por:

 

y₁ = f₁(x) + g₁(x)u₁(t) + h₁(x)u₂(t)                                                               (6)

donde las variables a despejar serían las salidas del controlador (u₁(t), u₂(t)). Las funciones f₁(x), g₁(x),   

h₁(x), f₂(x), g₂(x) y h₂(x) representan a los seis núcleos estimadores que se determinan en la fase de modelado de la planta.  Si se sustituyen las salidas por los correpondientes modelos de referencia y se despeja u₁(t) en la primera ecuación, resulta:

 

u₁(t) = (y₁^d - f₁(x) - h₁(x)u₂(t))/g₁(x)                                                           (7)

 

Si se sustituye la anterior expresión y la salida de la planta por el modelo de referencia en la segunda ecuación de (6) y se desarrolla se obtiene:

 

u₂(t)=(g₁(x)(y₂^d - f₂(x)) - g₂(x)(y₁^d - f₁(x)))/(h₂(x)g₁(x) - g₂(x)h₁(x))                (8)

 

Si se sustituye (8) en (7) y se desarrolla: 

 

u₁(t)=(h₂(x)(y₁^d - f₁(x)) - h₁(x)(y₂^d - f₂(x)))/(h₂(x)g₁(x) - g₂(x)h₁(x))                (9)

 

Las ecuaciones que definen el controlador multivariable ((8) y (9)) dependen de los modelos de referencia y los seis núcleos estimadores que se obtienen en la fase de modelado. Las ecuaciones utilizadas para obtener el modelo equivalente a la primera ecuación de (6) se representan en la siguiente figura, la segunda ecuación es similar

 

 

 

Una vez que se han obtenido los seis núcleos estimadores, se aplica la ley de control definida por las ecuaciones (8) y (9). 

 

Cuando existen más de dos variables de control, debe redefinirse (6) de forma que el sistema de ecuaciones resultante tenga solución, considerando las señales de control como incógnitas.